Question

已知關于x的函數f_n（x）=cosⁿx+cosⁿ（x+

2π

3

）+cosⁿ（x+

4π

3

），其中n∈N^*．
（1）求f_n（0）和f_n（

π

2

）；
（2）求證：對任意x∈R，f₂（x）為定值；
（3）對任意x∈R，是否存在最大的正整數n，使得函數y=f_n（x）為定值？若存在，求出n的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）根據條件直接求f_n（0）和f_n（

π

2

）；
（2）根據三角函數關系式進行化簡即可證明對任意x∈R，f₂（x）為定值；
（3）根據三角函數的關系式進行化簡，即可得到結論．

解答： 解：（1）fn(0)=1+2(-

1

2

)n，fn(

π

2

)=(-

3

2

)n+(

3

2

)n．
（2）對任意x∈Rf1(x)=cosx+cos(x+

2π

3

)+cos(x+

4π

3

)=cosx-

1

2

cosx-

3

2

sinx-

1

2

cosx+

3

2

sinx=0
又cos2x=

1

2

(1+cos2x)，故f2(x)=

1

2

(3+f1(2x))=

3

2

．
（3）由于cos4x=

1

4

(1+2cos2x+cos22x)
故f4(x)=

1

4

(3+2f1(2x)+f2(2x))=

9

8

，即n=4時，y=f_n（x）為定值．
當n為奇數，且n≥3時，由（1）得：fn(0)=1+2(-

1

2

)n=1-

1

2n-1

＞0，而fn(

π

2

)=(-

3

2

)n+(

3

2

)n=0，即fn(0)≠fn(

π

2

)．故y=f_n（x）不可能為定值．
當n為偶數，且n≥6時，由（1）得：fn(0)=1+2(-

1

2

)n=1+

1

2n-1

＞1．而(

3

2

)n關于n單調遞減，
故fn(

π

2

)=(-

3

2

)n+(

3

2

)n=2(

3

2

)n≤2(

3

2

)6=

27

32

＜1．即fn(0)≠fn(

π

2

)，故y=f_n（x）不可能為定值．
綜上，存在最大的正整數n=4，使得對任意的x∈R，y=f_n（x）為定值．

點評：本題主要考查三角函數式恒等變化，考查學生的運算能力，綜合性較強，難度較大．