Question

已知圓C：x²+y²=1，點P（x，y）在直線x-y-2=0上，O為坐標原點，若圓C上存在點Q，使∠OPQ=30°，則x的取值范圍是（ ）
A．[-1，1]
B．[0，1]
C．[-2，2]
D．[0，2]

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)圓的切線的性質(zhì)，可知當過P點作圓的切線，切線與OP所成角是圓上的點與OP所成角的最大值，所以只需此角大于等于30°即可，此時半徑，切線與OP構(gòu)成直角三角形，因為切線與OP所成角大于等于30°所以O(shè)P小于等于半徑的2倍，再用含x的式子表示OP，即可求出x的取值范圍．
解答：解：過P作⊙C切線交⊙C于R，根據(jù)圓的切線性質(zhì)，有∠OPR≥∠OPQ=30°．
反過來，如果∠OPR≥30°，則存在⊙C上點Q使得∠OPQ=30°．
∴若圓C上存在點Q，使∠OPQ=30°，則∠OPR≥30°
∵|OR|=1，∴|OP|＞2時不成立，∴|OP|≤2．
∵|OP|²=x²+y2=x²+（x-2）²=2x²-4x+2
∴2x²-4x+2≤2，解得，0≤x²≤2∴x的取值范圍是[0，2]
故選D
點評：本題主要考查了直線與圓相切時切線的性質(zhì)，以及一元二次不等式的解法，綜合考察了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計算能力．