Question

若無窮數(shù)列滿足：①對任意，；②存在常數(shù)，對任意，，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.

    （Ⅰ）若數(shù)列的通項為，證明：數(shù)列為“數(shù)列”；

    （Ⅱ）若數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且數(shù)列為“數(shù)列”，證明：對任意，；

（Ⅲ）若數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且數(shù)列為“數(shù)列”，證明：存在 ，數(shù)列為等差數(shù)列.

Answer 1

  （Ⅰ）證明：由，可得，，

所以，

所以對任意，．

又數(shù)列為遞減數(shù)列，所以對任意，．

所以數(shù)列為“數(shù)列”．

（Ⅱ）證明：假設(shè)存在正整數(shù)，使得．

由數(shù)列的各項均為正整數(shù)，可得．

由，可得．

且．

同理，

依此類推，可得，對任意，有．

因為為正整數(shù)，設(shè)，則.

　　　在中，設(shè)，則．

與數(shù)列的各項均為正整數(shù)矛盾．

所以，對任意，.

（Ⅲ）因為數(shù)列為“數(shù)列”，

所以，存在常數(shù)，對任意，．

設(shè)．

由（Ⅱ）可知，對任意，，

則．

若，則；若，則．

而時，有．

所以，，，…，，…，中最多有個大于或等于，

否則與矛盾．

所以，存在，對任意的，有．

所以，對任意， ．

所以，存在 ，數(shù)列為等差數(shù)列.