Question

7．證明下列等式，并從中歸納出一個(gè)一般性的結(jié)論．
2cos$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$；
2cos$\frac{π}{8}$=$\sqrt{2+\sqrt{2}}$；
2cos$\frac{π}{16}$=$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$；
…

Answer 1

分析 根據(jù)半角公式可證明已知的三個(gè)等式，再由題意，觀察各式可得其規(guī)律，用n將規(guī)律表示出來一般性結(jié)論．

解答 證明：∵cos$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴2cos$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$；
2cos$\frac{π}{8}$=2$\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$=$\sqrt{2+\sqrt{2}}$
2cos$\frac{π}{16}$=2$\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}{2}}$=$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$，觀察下列等式：
2cos$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$；
2cos$\frac{π}{8}$=$\sqrt{2+\sqrt{2}}$；
2cos$\frac{π}{16}$=$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$；
…
由上邊的式子，我們可以推斷：
2cos$\frac{π}{{2}^{n+1}}$=$\begin{array}{c}\\ \stackrel{n層}{\sqrt{2+\sqrt{2+…+\sqrt{2}}}}\end{array}\right.$（n∈N^*）

點(diǎn)評 歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．