Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）= cos2x+sin2（x+ ）． （Ⅰ）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[﹣ ， ）時(shí)，求f（x）的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）= cos2x+sin2（x+ ）． f（x）= cos2x+
f（x）= cos2x+ sin2x+
f（x）=sin（2x+ ）+ ，
最小正周期 ，
∵sinx單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ﹣ ，2kπ+ ]，（k∈Z）
∴2x+ ∈[2kπ﹣ ，2kπ+ ]，（k∈Z）
解得：x∈[ ， ]，（k∈Z）
∴f（x）的最小正周期為π；單調(diào)遞增區(qū)間為[ ， ]，（k∈Z）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=sin（2x+ ）+
∵x∈[﹣ ， ），
∴2x+ ∈[ ， ]，
由三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)：
可知：當(dāng)2x+ = 時(shí)，f（x）取得最小值，即 =0．
當(dāng)2x+ = 時(shí)，f（x）取得最大值，即 ．
∴x∈[﹣ ， ）時(shí)，f（x）的取值范圍在
【解析】（Ⅰ）先利用兩角和余差的基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）x∈[﹣ ， ）時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，求出f（x）的取值最大和最小值，即得到f（x）的取值范圍．