Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+ax+1，a∈R．
（Ⅰ）求f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）數(shù)列{a_n}中，a₁=2，2a_n+1=a_n+1，數(shù)列{b_n}滿足b_n=nlna_n，記{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．求證：T_n＜4-

n+2

2n-1

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,數(shù)列的求和

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=1時(shí)的導(dǎo)數(shù)，再求出f（1），然后直接利用直線方程的點(diǎn)斜式得答案；
（Ⅱ）由f（x）≤0恒成立分離參數(shù)a，然后構(gòu)造函數(shù)g（x）=

-lnx-1

x

，由導(dǎo)數(shù)求其最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍可求；
（Ⅲ）由遞推式求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，借助于函數(shù)y=x-ln（1+x）在（0，1]上單調(diào)性及不等式放縮證明T_n＜4-

n+2

2n-1

．

解答： （Ⅰ）解：由f（x）=lnx+ax+1，得f′(x)=

1

x

+a．
∴f′（1）=1+a．
又f（1）=a+1，
∴f（x）在x=1處的切線方程為y-a-1=（1+a）（x-1），
即y=（1+a）x；
（Ⅱ）解：函數(shù)f（x）=lnx+ax+1的定義域?yàn)閧x|x＞0}，
由不等式f（x）≤0恒成立，得
lnx+ax+1＜0恒成立，即a＜

-lnx-1

x

（x＞0）恒成立．
令g（x）=

-lnx-1

x

，
則g′(x)=

-1+lnx+1

x2

=

lnx

x2

，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0．
∴g（x）_min=g（1）=-1．
∴使不等式f（x）≤0恒成立的a的取值范圍是（-∞，-1）；
（Ⅲ）證明：∵a₁=2，2a_n+1=a_n+1，
∴2（a_n+1-1）=a_n-1，
則數(shù)列{a_n-1}是以a₁-1=1為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列，
∴an-1=(

1

2

)n-1，即an=1+(

1

2

)n-1．
下面證明當(dāng)0＜x≤1時(shí)，x-ln（1+x）＞0，
設(shè)y=x-ln（1+x），則y′=1-

1

1+x

，
∵對于任意x∈（0，1]均有y′＜0，
∴y=x-ln（1+x）在（0，1]上單調(diào)遞減，
∵當(dāng)x=1時(shí)y=x-ln（1+x）=1-ln2＞0，
∴當(dāng)0＜x≤1時(shí)，x-ln（1+x）＞0．
記Cn=n•(

1

2

)n-1，Sn=

n

i=1

Ci，
顯然有bn=n•ln[1+(

1

2

)n-1]＜n•(

1

2

)n-1=C_n．
∴Tn=

n

i=1

bi＜

n

i=1

Ci=Sn，
∵Sn=

n

i=1

Ci=

n

i=1

i(

1

2

)i-1，
而對任意n∈N^*都有2-

2

2n-1

≥0，
∴T_n＜S_n=4-

n+2

2n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，訓(xùn)練了利用放縮法證明數(shù)列不等式，綜合考查了學(xué)生的邏輯思維能力和分析解決問題的能力，是壓軸題．