Question

2．設函數(shù)y=f（x）的定義域為D，值域為A，如果存在函數(shù)x=g（t），使得函數(shù)y=f（g（t））的值域仍是A，那么稱x=g（x）是函數(shù)y=f（x）的一個等值域變換．
（1）已知函數(shù)f（x）=x²-x+1，x∈B，x=g（t）=log₂t，t∈C．
1°若B，C分別為下列集合時，判斷x=g（t）是不是函數(shù)y=f（x）的一個等值域變換：①B=R，C=（1，+∞）；②B=R，C=（2，+∞）
2°若B=[0，4]，C=[a，b]（0＜a＜b），若x=g（t）是函數(shù)y=f（x）的一個等值域變換，求a，b滿足的條件；
（2）設f（x）=log₂x的定義域為x∈[2，8]，已知x=g（t）=$\frac{m{t}^{2}-3t+n}{{t}^{2}+1}$是y=f（x）的一個等值域變換，且函數(shù)y=f[g（t）]的定義域為R，求實數(shù)m，n的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等值域變換的定義，分別進行推導判斷即可．
（2）利用f（x）的定義域，求得值域，根據(jù)x的表達式，和t值域建立不等式，利用存在t₁，t₂∈R使兩個等號分別成立，求得m和n．

解答 解：1°f（x）=x²-x+1=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$，即函數(shù)f（x）的值域為[$\frac{3}{4}$，+∞），
①C=（1，+∞）時，g（t）∈（0，+∞），f（g（t））=（g（t））²-g（t）+1=（g（t）-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$，
即函數(shù)f（g（t））的值域為[$\frac{3}{4}$，+∞），即x=g（t）是函數(shù)y=f（x）的一個等值域變換
②B=R，C=（2，+∞）時，g（t）∈（1，+∞），f（g（t））=（g（t））²-g（t）+1=（g（t）-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$＞1′，
即函數(shù)f（g（t））的值域為（1，+∞），即x=g（t）不是函數(shù)y=f（x）的一個等值域變換，
故①是等值域變換，②不等值域變換
2°B=[0，4]，C=[a，b]（0＜a＜b），f（x）的值域為[$\frac{3}{4}$，13]，x=g（t）的值域是[log₂a，log₂b]
當f（x）=13時，x=-3或4，結(jié)合圖象可知，若x=g（t）是函數(shù)y=f（x）的一個等值域變換，
則$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}a=-3}\\{\frac{1}{2}≤lo{g}_{2}b≤4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}b=4}\\{-3＜lo{g}_{2}a≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{8}}\\{\sqrt{2}≤b≤16}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{b=16}\\{\frac{1}{8}＜a≤\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
故若x=g（t）是函數(shù)y=f（x）的一個等值域變換，則a，b滿足的條件是：
$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{8}}\\{\sqrt{2}≤b≤16}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{b=16}\\{\frac{1}{8}＜a≤\sqrt{2}}\end{array}\right.$．
（2）f（x）=log₂x定義域為[2，8]，由y=log₂x，知1≤y≤3，
即f（x）=log₂x的值域為[1，3]，
因為x=g（t）是y=f（x）的一個等值域變換，且函數(shù)f（g（t））的定義域為R，
所以x=g（t）=$\frac{m{t}^{2}-3t+n}{{t}^{2}+1}$，t∈R的值域為[2，8]，
則2≤$\frac{m{t}^{2}-3t+n}{{t}^{2}+1}$≤8，
∴2（t²+1）≤mt²-3t+n≤8（t²+1），
所以，恒有$\left\{\begin{array}{l}{（m-2）{t}^{2}-3t+n-2≥0}\\{（m-8）{t}^{2}-3t+n-8≤0}\end{array}\right.$，
且存在t₁，t₂∈R使兩個等號分別成立，
于是$\left\{\begin{array}{l}{2＜m＜8}\\{{△}_{1}=9-4（m-2）（n-2）=0}\\{{△}_{2}=9-4（m-8）（n-8）=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=5+\frac{3\sqrt{3}}{2}}\\{n=5-\frac{3\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=5-\frac{3\sqrt{3}}{2}}\\{n=5+\frac{3\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查了新定義的理解和運用，主要函數(shù)值域的問題，利用已知條件演繹推理的能力和運算能力．綜合性較強，難度較大．