Question

（分）是直角三角形斜邊上的高，（），分別是的內心，的外接圓分別交于，直線交于點；證明：分別是的內心與旁心．

Answer 1

略

：如圖，連，由，則圓心在上，設直徑交于，并簡記的三內角為，由


，
所以∽，得，且，故∽，而，
注意，，
所以，因此，同理得，故與重合，即圓心在上，而，
，所以平分；
同理得平分，即是的內心，是的旁心．
證二：如圖，因為，故的外接圓圓心在上，連，則由為內心知，
， 所以
，
于是四點共圓，所以
，又因，因此點在上，即為與的交點．設與交于另一點，而由，
，可知，分別為的中點，所以，
．因此，點分別為的內心與旁心．