Question

12．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+1，其中a∈R，且a≠0
（Ⅰ）設(shè)h（x）=（2x-3）f（x），若函數(shù)y=h（x）圖象與x軸恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，試求a的取值集合；
（Ⅱ）求函數(shù)y=|f（x）|在[0，1]上最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分類討論，從而由f（x）=0恰有一解及f（x）=0有兩個(gè)不同的解求得；
（Ⅱ）分類討論，從而確定二次函數(shù)的單調(diào)性及最值，從而確定函數(shù)y=|f（x）|在[0，1]上的最大值．

解答 解：（Ⅰ）（1）若f（x）=0恰有一解，且解不為$\frac{3}{2}$，
即a²-4=0，解得a=±2；
（2）若f（x）=0有兩個(gè)不同的解，且其中一個(gè)解為$\frac{3}{2}$，
代入得$\frac{9}{4}$+$\frac{3}{2}$a+1=0，
解得a=-$\frac{13}{6}$，檢驗(yàn)滿足△＞0；
綜上所述，a的取值集合為{-$\frac{13}{6}$，-2，2}．
（Ⅱ）（1）若-$\frac{a}{2}$≤0，即a≥0時(shí)，
函數(shù)y=|f（x）|在[0，1]上單調(diào)遞增，
故y_max=f（1）=2+a；
（2）若0＜-$\frac{a}{2}$＜1，即-2＜a＜0時(shí)，
此時(shí)△=a²-4＜0，且f（x）的圖象的對(duì)稱軸在（0，1）上，且開(kāi)口向上；
故y_max=max{f（0），f（1）}=max{1，a+2}=$\left\{\begin{array}{l}{a+2，a≥-1}\\{1，a＜-1}\end{array}\right.$，
（3）若-$\frac{a}{2}$≥1，即a≤-2時(shí)，
此時(shí)f（1）=2+a≤0，y_max=max{f（0），-f（1）}=max{1，-a-2}=$\left\{\begin{array}{l}{1，a≥-3}\\{-a-2，a＜-3}\end{array}\right.$，
綜上所述，y_max=$\left\{\begin{array}{l}{a+2，-1≤a＜0或a＞0}\\{1，-3≤a＜-1}\\{-a-2，a＜-3}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分類討論的思想應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．