Question

【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，設(shè)M，N是橢圓C上位于x軸上方的兩動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線平行，與交于點(diǎn)D．

（Ⅰ）求和的坐標(biāo)；

（Ⅱ）求的最小值；

（Ⅲ）求證：是定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）；（Ⅲ）見(jiàn)解析．

【解析】

（Ⅰ）由橢圓方程得后可得，即得焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓的另一焦點(diǎn)是，由橢圓的對(duì)稱性得，設(shè)，設(shè)直線方程是，與橢圓方程聯(lián)立消元后應(yīng)用韋達(dá)定理可得，用弦長(zhǎng)公式求得，計(jì)算并代入得關(guān)于的函數(shù)，可得最小值．

（Ⅲ）由（Ⅱ）得，再由，由平行線性質(zhì)求得和，相加即證．

（Ⅰ）由題意，，所以，焦點(diǎn)為，；

（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓的另一焦點(diǎn)是，因?yàn)?/span>，所以由橢圓的對(duì)稱性得，

設(shè)，設(shè)直線方程是，

由得，，，

，

所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為．

（Ⅲ）因?yàn)?/span>，且在橢圓上，

所以

同理，

所以，

由（Ⅱ），

，

所以為定值．