Question

已知,函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，畫出函數(shù)的大致圖像；

（2）當(dāng)時(shí)，根據(jù)圖像寫出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，并用定義證明你的結(jié)論；

（3）試討論關(guān)于x的方程解的個(gè)數(shù).

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)a=2時(shí)， ，作出圖象；

（2）由（1）寫出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，再根據(jù)單調(diào)性定義證明即可；

（3）由題意知方程的解得個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)的圖像與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù).即函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

試題解析：（1）如圖所示

3分

（2）單調(diào)遞減區(qū)間： 4分

證明：設(shè)任意的

5分

因?yàn)?/span>，所以

于是，即6分

所以函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù) 7分

(3) 由題意知方程的解得個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)的圖像與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù).即函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

又，注意到，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號成立，借助圖像知 8分

所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像與直線有1個(gè)交點(diǎn)； 9分

當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的圖像與直線有2個(gè)交點(diǎn)； 10分

當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的圖像與直線有3個(gè)交點(diǎn)；12分.

考點(diǎn)：1.絕對值的函數(shù)；2.函數(shù)的值域;3.函數(shù)的零點(diǎn).