Question

如圖所示是一個幾何體的直觀圖、正視圖、俯視圖、側(cè)視圖(其中正視圖為直角梯形，俯視圖為正方形，側(cè)視圖為直角三角形，尺寸如圖所示)．

(1)求四棱錐P-ABCD的體積；

(2)證明：BD∥平面PEC；

(3)若G為BC上的動點(diǎn)，求證：AE⊥PG.

Answer 1

解：(1)由幾何體的三視圖可知，底面ABCD是邊長為4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，且PA＝4，BE＝2，AB＝AD＝CD＝CB＝4，

∴V_P－ABCD＝PA×S_ABCD＝×4×4×4＝.

(2)證明：連結(jié)AC交BD于O點(diǎn)，

取PC中點(diǎn)F，連結(jié)OF，

∵EB∥PA，且EB＝PA，

又OF∥PA，且OF＝PA，

∴EB∥OF，且EB＝OF，∴四邊形EBOF為平行四邊形，∴EF∥BD.

又EF⊂平面PEC，BD⊄平面PEC，所以BD∥平面PEC.

(3)連結(jié)BP，∵＝＝，∠EBA＝∠BAP＝90°，

∴△EBA∽△BAP，∴∠PBA＝∠BEA，∴∠PBA＋∠BAE＝∠BEA＋∠BAE＝90°，∴PB⊥AE.

又∵BC⊥平面APEB，∴BC⊥AE，∴AE⊥平面PBG，∴AE⊥PG.