Question

三次函數(shù)f（x）= x³－3x²－3mx+4（其中m為常數(shù)）存在極值，請回答下列問題：

（1）求f（x）的單調區(qū)間及極值；

（2）當f（x）的極大值為5時，求m的值；

（3）求曲線y=f（x）過原點的切線方程.

Answer 1

解：（1）f（x）= x³－3x²－3mx+4.

由f′（x）=3 x²－6x－3m=0，

得3 x²－6x－3m=0，Δ=36（m+1）.

由于三次函數(shù)f（x）= x³－3 x²－3mx+4有極值的條件是f′（x）=0必須有相異兩實根，

∴當Δ≤0，即m≤－1時，函數(shù)無極值；

當Δ＞0，即m＞－1時，函數(shù)有極值.

設f′（x）=0的相異兩實根分別為α、β，其中α=1－，β=1+（m＞－1），則x變化時，y′、y的變化情況如下表：

∴當x=1－時，f（x）_極大值=f（α）

=（1－）³－3（1－）²－3m（1－）+4

=2（m+1）－3m+2.

當x=1+時，f（x）_極小值=f（β）

=（1+）³－3（1+）²－3m（1+）+4

=－2（m+1）－3m+2.

單調增區(qū)間為（－∞，1－）及（1+，+∞）；

單調減區(qū)間為（1－，1+）.

（2）令2（m+1）－3m+2=5，

解得m=，即m=時，y=f（x）取極大值5.

（3）設曲線過點（x₁，x₁³－3x₁²－3mx₁+4）的切線過原點，此時切線斜率為k=3x₁²－6x₁－3m，切線方程為y=3（x₁²－2x₁－m）（x－x₁）+x₁³－3x₁²－3mx₁+4.

由于該切線過原點，

∴－x₁（x₁²－2x₁－m）+x₁³－3x₁²－3mx₁+4=0，即2x₁³－3x₁²－4=0，

即（x₁－2）（2x₁²+x₁+2）=0.

∴x₁=2，代入切線方程得y=－3mx.

點評：本例是導數(shù)應用的典型例題.利用導數(shù)這一工具可以解決一些利用函數(shù)單調性定義求單調區(qū)間無法解決的題目.