Question

已知f（x）=log_a

1-x

1+x

（a＞0，且a≠1）
（1）求f（

1

2012

）+f（-

1

2012

）的值；
（2）當(dāng)x∈[-t，t]（其中t∈（-1，1），且t為常數(shù)）時，f（x）是否存在最小值，如果存在求出最小值；如果不存在，請說明理由；
（3）當(dāng)a＞1時，求滿足不等式f（x-2）+f（4-3x）≥0的x的范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（

1

2012

）+f（-

1

2012

）的結(jié)構(gòu)特點，先利用定義判斷函數(shù)的奇偶性，由奇偶性的性質(zhì)即可求得結(jié)果；
（2）先利用定義判斷函數(shù)f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性，從而可知f（x）在[-t，t]上的單調(diào)性，由單調(diào)性即可求得f（x）的最小值；
（3）利用函數(shù)f（x）的奇偶性、單調(diào)性可去掉不等式中的符號“f”，從而轉(zhuǎn)化為具體不等式，再考慮到函數(shù)定義域可得不等式組，解出即可；

解答：解：（1）由

1-x

1+x

＞0得：-1＜x＜1，所以f（x）的定義域為（-1，1），
又f（-x）=loga

1+x

1-x

=loga(

1-x

1+x

)-1=-log_a

1-x

1+x

=-f（x），∴f（x）為奇函數(shù)，
∴f（

1

2012

）+f（-

1

2012

）=0．
（2）設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，
則

1-x1

1+x1

-

1-x2

1+x2

=

2(x2-x1)

(1+x1)(1+x2)

，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴x₂-x₁＞0，（1+x₁）（1+x₂）＞0，
∴

1-x1

1+x1

＞

1-x2

1+x2

，
當(dāng)a＞1時，f（x₁）＞f（x₂），f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)，
又t∈（-1，1），所以x∈[-t，t]時，f（x）有最小值，且最小值為f（t）=loga

1-t

1+t

；
當(dāng)0＜a＜1時，f（x₁）＜f（x₂），f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，
又t∈（-1，1），所以x∈[-t，t]時，f（x）有最小值，且最小值為f（-t）=loga

1+t

1-t

．
（3）由（1）及f（x-2）+f（4-3x）≥0，得f（x-2）≥-f（4-3x）=f（3x-4），
∵a＞1，∴f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)，
∴

x-2≤3x-4 -1＜x-2＜1 -1＜3x-4＜1

，解得1＜x＜

5

3

，
∴x的取值范圍是（1，

5

3

）．

點評：本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的綜合、對數(shù)的運算性質(zhì)及函數(shù)求值，考查抽象不等式的求解，解抽象不等式的基本思路是利用函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為具體不等式．