Question

已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

（Ⅲ）求證：（，e是自然對數(shù)的底數(shù)）.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ）實數(shù)a的取值范圍是；（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即判斷在各個區(qū)間上的符號,只需對求導(dǎo)即可；（Ⅱ）當(dāng)時，不等式恒成立，即恒成立，令 （），只需求出最大值,讓最大值小于等于零即可,可利用導(dǎo)數(shù)求最值,從而求出的取值范圍；（Ⅲ）要證（成立,即證,即證

,由（Ⅱ）可知當(dāng)時，在上恒成立，又因為,從而證出.

試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時，（），（1分）

（），（2分）

由解得，由解得,

 故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（3分）

（Ⅱ）因當(dāng)時，不等式恒成立，即恒成立，設(shè) （），只需即可． （4分）

由，  （5分）

（ⅰ）當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

故 成立；（6分）

（ⅱ）當(dāng)時，由，因，所以，

①若，即時，在區(qū)間上，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在 上無最大值（或：當(dāng)時，），此時不滿足條件；

②若，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，同樣 在上無最大值，不滿足條件 ；（8分）

（ⅲ）當(dāng)時，由，∵，∴，

∴，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立．

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是．  （9分）

（Ⅲ）據(jù)（Ⅱ）知當(dāng)時，在上恒成立，又，

∵

（10分）

 

，  （11分）

∴．                   （12分）

考點：利用導(dǎo)數(shù)的求單調(diào)區(qū)間、利用導(dǎo)數(shù)求最值、拆項相消法求數(shù)列的和.