Question

17．已知函數(shù)f（x）對任意m，n∈R都有f（m+n）=f（m）+f（n）+1，令g（x）=f（x）+1，當(dāng)x＞0時，g（x）＜0．
（1）求g（0）并判斷g（x）的奇偶性；
（2）求證：f（x）在R上為減函數(shù)；
（3）若f（1）=-2，且f（a²-a）＞-3，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義即可求g（0）并判斷g（x）的奇偶性；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明f（x）在R上為減函數(shù)；
（3）若f（1）=-2，求出f（2）=-3，將不等式f（a²-a）＞-3，進行轉(zhuǎn)化，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求a的取值范圍．

解答 解：（1）令m=n=0，則f（0）=f（0）+f（0）+1，即f（0）=-1，
則g（0）=f（0）=+1=-1+1=0，
令m=x，n=-x，
則f（0）=f（x）+f（-x）+1=-1，
即f（x）+1=-f（-x）-1=-[f（-x）+1]，
∵g（x）=f（x）+1，
∴g（x）=-g（-x），
即g（-x）=-g（x），
則函數(shù)g（x）為奇函數(shù)；
（2）當(dāng)x＞0時，g（x）＜0，即x＞0時，f（x）+1＜0，
∴f（x）＜-1，
證明：設(shè)x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）+1-f（x₁）=f（x₂-x₁）+1，
∵x₂-x₁＞0
∴f（x₂-x₁）＜-1，
∴f（x₂-x₁）+1＜0
∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）是R上的減函數(shù)；
（3）若f（1）=-2，則f（1+1）=f（1）+f（1）+1，
即f（2）=-2-2+1=-3，
則不等式f（a²-a）＞-3，等價為f（a²-a）＞f（2），
∵f（x）是R上的減函數(shù)，
∴a²-a＜2，
即a²-a-2＜0，
解得-1＜a＜2，
即a的取值范圍是（-1，2）．

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義，利用賦值法是解決本題的關(guān)鍵．