Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，點（1，

3

2

）在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若橢圓C的兩條切線交于點M（4，t），其中t∈R，切點分別是A、B，試?yán)�用結(jié)論：在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1上的點（x₀，y₀）處的橢圓切線方程是

x0x

a2

+

y0y

b2

=1，證明直線AB恒過橢圓的右焦點F₂；
（Ⅲ）試探究

1

|AF2|

+

1

|BF2|

的值是否恒為常數(shù)，若是，求出此常數(shù)；若不是，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出

b2

a2

=1-e2=

3

4

，

1

a2

+

9

4b2

=1，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)切點坐標(biāo)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），切線方程分別為

x1x

4

+

y1y

3

=1，

x2x

4

+

y2y

3

=1．由已知條件推導(dǎo)出點A、B的坐標(biāo)都適合方程x+

t

3

y=1，由此能證明直線AB恒過橢圓的右焦點F₂．
（Ⅲ）將直線AB的方程x=-

t

3

y+1，代入橢圓方程，得（

t2

3

+4）y²-2ty-9=0，由此利用韋達定理能證明

1

|AF2|

+

1

|BF2|

的值恒為常數(shù)

4

3

．

解答： （Ⅰ）解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，點（1，

3

2

）在橢圓C上．
∴

b2

a2

=1-e2=

3

4

，①

1

a2

+

9

4b2

=1，②，
由①②得：a2 =4，b2=3，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（Ⅱ）證明：設(shè)切點坐標(biāo)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則切線方程分別為

x1x

4

+

y1y

3

=1，

x2x

4

+

y2y

3

=1．
又兩條切線交于點M（4，t），即x1+

t

3

y1=1，x2+

t

3

y2=1，
即點A、B的坐標(biāo)都適合方程x+

t

3

y=1，
由題意知對任意實數(shù)t，點（1，0）都適合這個方程，
故直線AB恒過橢圓的右焦點F₂（1，0）．…（7分）
（Ⅲ）解：將直線AB的方程x=-

t

3

y+1，代入橢圓方程，得
3(-

t

3

y+1)2+4y2-12=0，即（

t2

3

+4）y²-2ty-9=0，
∴y1+y2=

6t

t2+12

，y1y2=-

27

t2+12

，…（10分）
不妨設(shè)y₁＞0，y₂＜0，|AF₂|=

(x1-1)2+y12

=

( t2 9 +1)y12

=

t2+9

3

y1，
同理|BF₂|=-

t2+9

3

y2，
∴

1

|AF2|

+

1

|BF2|

=

3

t2+9

（

1

y1

-

1

y2

）=

3

t2+9

•

y2-y1

y1y2

=-

3

t2+9

•

(y2-y1)2

y1y2

=

4

3

，
∴

1

|AF2|

+

1

|BF2|

的值恒為常數(shù)

4

3

．…（13分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線恒過橢圓右焦點的證明，考查兩數(shù)和恒為常數(shù)的探究與求法，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．