Question

已知在直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ²-4ρcosθ+3=0．
（1）求直線(xiàn)l普通方程和曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P是曲線(xiàn)C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線(xiàn)l的距離的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由ρ²-4ρcosθ+3=0，化為直角坐標(biāo)方程：x²+y²-4x+3=0，
即曲線(xiàn)C的方程為x²+y²-4x+3=0，
由直線(xiàn)l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）消去t，得直線(xiàn)l的方程是：x-y+3=0…（4分）
（2）曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （x-2）²+y²=1，圓心C（2，0），半徑為1．
∴圓心C到直線(xiàn)l的距離為：d==． …（6分）
所以點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離的取值范圍是[-1，+1]．
分析：（1）利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換即得C的直角坐標(biāo)方程，將直線(xiàn)l的參數(shù)消去得出直線(xiàn)l的普通方程．
（2）求出圓心到直線(xiàn)的距離d，結(jié)合圓的性質(zhì)即可求得點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線(xiàn)參數(shù)方程、點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．