Question

已知定義在[1-2a，2-a]上的偶函數(shù)f（x），當x≥0時，f（x）=x+e^x，若f（t）＜f（2t-1）．則t的取值范圍是（　　）

• A、[-1，1]
• B、[0，1]
• C、[

  1

  2

  ，1]
• D、[0，

  1

  3

  ）

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性可知當x≥0時，函數(shù)為增函數(shù)，再由偶函數(shù)圖象在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反，可得當x≤0時，f（x）為減函數(shù)，故不等式f（t）＜f（2t-1，可變形為|t|＜|2t-1|，解得t的取值范圍．

解答： 解：偶函數(shù)f（x）定義域關(guān)于原點對稱，則1-2a+2-a=0，解得a=1，則函數(shù)定義域為[-1，1]，
∵當0≤x≤1時，f（x）=x+e^x，此時函數(shù)為增函數(shù)，
∴當-1≤x≤0時，f（x）為減函數(shù)，
則要使f（t）＜f（2t-1），只需|t|＜|2t-1|，
兩邊平方，化簡得3t²-4t+1＞0，即（3t-1）（t-1）＞0，解得t＜

1

3

，或t＞1，
又由函數(shù)定義域有-1≤t≤1，且-1≤2t-1≤1，即0≤t≤1，
所以0≤t＜

1

3

，
故選：D．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)奇偶性的綜合應用，及絕對值不等式的解法，綜合性強，難度中檔．