Question

設0＜α≤β≤γ，且α+β+γ=π，則min{

sinβ

sinα

，

sinγ

sinβ

}的取值范圍為

[1，

1+ 5

2

）

．

Answer 1

分析：由題意可得α，β，γ 分別是△ABC的三內角A、B、C，故a≤b≤c，當

b

a

≤

c

b

時，min{

sinβ

sinα

，

sinγ

sinβ

}=min{

b

a

，

c

b

}≥1，此時，b²≤ac＜a（a+b），故 (

b

a

)2-

b

a

-1＜0，由此求得

b

a

的范圍，當

b

a

≥

c

b

時，同理求得

c

b

的范圍，由此得出結論．

解答：解：設0＜α≤β≤γ，且α+β+γ=π，故α，β，γ  分別是△ABC的三內角A、B、C，∴a≤b≤c，
則 min{

sinβ

sinα

，

sinγ

sinβ

 } 即 min{ 

b

a

，

c

b

 }．
當

b

a

≤

c

b

時，即 b²≤ac 時，min{

b

a

，

c

b

}=

b

a

≥1，此時，b²≤ac＜a（a+b）=a²+ab，
∴(

b

a

)2-

b

a

-1＜0，解得

1- 5

2

＜

b

a

＜

1+ 5

2

．
綜合可得 1≤

b

a

＜

1+ 5

2

．
當

b

a

≥

c

b

時，即 b²≥ac 時，min{

b

a

，

c

b

}=

c

b

≥1，此時，b² ≥ac，再由a+b＞c 可得a＞c-b，∴b²＞c（c-b）．
∴(

c

b

)2-

c

b

-1＜0，解得

1- 5

2

＜

c

b

＜

1+ 5

2

．
綜合可得 1≤

c

b

＜

1+ 5

2

．
故答案為[1，

1+ 5

2

）．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦定理以及一元二次不等式的解法，屬于中檔題．