Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}+a}{{2}^{x}-a}$（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（2）當(dāng)a=-1，若不等式f（k-t²）+f（|2t-1|）＜0對于任意的t∈[-3，2]恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）當(dāng)a≠0時(shí)，存在區(qū)間[m，n]，使得函數(shù)f（x）在[m，n]的值域?yàn)閇2^m，2ⁿ]，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意，f（-x）=-f（x），化簡可得a=1；
（2）a=-1時(shí)，f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$在R上是增函數(shù)，且f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=-f（x），函數(shù)為奇函數(shù)．不等式f（k-t²）+f（|2t-1|）＜0可化為f（|2t-1|）＜f（t²-k），可得|2t-1|）＜t²-k，所以k＜t²-|2t-1|對于任意的t∈[-3，2]恒成立，求最值，即可得出結(jié)論；
（3）當(dāng)a≠0時(shí)，分類討論，根據(jù)存在區(qū)間[m，n]（m＜n），使得函數(shù)f（x）在[m，n]的值域?yàn)閇2^m，2ⁿ]，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）由題意，f（-x）=$\frac{{2}^{-x}+a}{{2}^{-x}-a}$=-$\frac{{2}^{x}+a}{{2}^{x}-a}$，即$\frac{1+a•{2}^{x}}{1-a•{2}^{x}}$=-$\frac{{2}^{x}+a}{{2}^{x}-a}$，化簡可得a=1；
（2）a=-1時(shí)，f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$在R上是增函數(shù)，且f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=-f（x），函數(shù)為奇函數(shù)．
不等式f（k-t²）+f（|2t-1|）＜0可化為f（|2t-1|）＜f（t²-k），
所以|2t-1|）＜t²-k，
所以k＜t²-|2t-1|對于任意的t∈[-3，2]恒成立，
t∈[-3，$\frac{1}{2}$]，t²-|2t-1|=t²+2t-1=（t+1）²-2∈[-2，2]，
t∈[$\frac{1}{2}$，2]，t²-|2t-1|=t²-2t+1=（t-1）²∈[0，1]，
所以k＜-2；
（3）因?yàn)閒（x）=$\frac{{2}^{x}+a}{{2}^{x}-a}$=1+$\frac{2a}{{2}^{x}-a}$，
①當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在（log₂a，+∞）和（-∞，log₂a）上單調(diào)遞減，
由題意可得1+$\frac{2a}{{2}^{m}-a}$=2ⁿ，1+$\frac{2a}{{2}^{n}-a}$=2^m，（*）
上述兩式相減得$\frac{2a}{{2}^{m}-a}$-$\frac{2a}{{2}^{n}-a}$=2ⁿ-2^m，
即2a=（2^m-a）（2ⁿ-a），故得$\frac{2a}{{2}^{m}-a}$=2ⁿ-a，
代入（*）式得a=1，此時(shí)（2^m-1）（2ⁿ-1）=2，且m＜n＜0或0＜m＜n，
此時(shí)（2^m-1）（2ⁿ-1）=2顯然有解，故此時(shí)a=1．                        
②當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．
由題意可得m，n是方程1+$\frac{2a}{{2}^{x}-a}$=2^x的兩個(gè)不等的實(shí)根，
令t=2^x＞0，則方程t²-（a+1）t-a=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，
故$\left\{\begin{array}{l}{△=（a+1）^{2}+4a＞0}\\{a+1＞0}\\{-a＞0}\end{array}\right.$，解得-3+2$\sqrt{2}$＜a＜0，
綜上得實(shí)數(shù)a的取值范圍是{1}∪（-3+2$\sqrt{2}$，0）．

點(diǎn)評 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的奇偶性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．