Question

7．《周髀算經(jīng)》中給出了弦圖，所謂弦圖是由四個全等的直角三角形和中間一個小正方形拼成一個大的正方形，若圖中直角三角形兩銳角分別為α、β，且小正方形與大正方形面積之比為4：9，則cos（α-β）的值為（　�。�

• A． $\frac{5}{9}$
• B． $\frac{4}{9}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． 0

Answer 1

分析 設(shè)大的正方形的邊長為1，由已知可求小正方形的邊長，可求cosα-sinα=$\frac{2}{3}$，sinβ-cosβ=$\frac{2}{3}$，且cosα=sinβ，sinα=cosβ，進而利用兩角差的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可計算得解．

解答 解：設(shè)大的正方形的邊長為1，由于小正方形與大正方形面積之比為4：9，
可得：小正方形的邊長為$\frac{2}{3}$，
可得：cosα-sinα=$\frac{2}{3}$，①sinβ-cosβ=$\frac{2}{3}$，②
由圖可得：cosα=sinβ，sinα=cosβ，
①×②可得：$\frac{4}{9}$=cosαsinβ+sinαcosβ-cosαcosβ-sinαsinβ=sin²β+cos²β-cos（α-β）=1-cos（α-β），
解得：cos（α-β）=$\frac{5}{9}$．
故選：A．

點評 本題主要考查了兩角差的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的綜合應用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．