Question

.已知函數(shù)

（Ⅰ）當(dāng)時，求的值域

（Ⅱ）設(shè)，若在恒成立，求實數(shù)a的取值范圍

（III）設(shè)，若在上的所有極值點按從小到大排成一列，

  求證：

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）函數(shù)的值域為 ；（Ⅱ）的取值范圍為 .（Ⅲ）.

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的 運用。利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，確定值域和運用不等式恒成立問題，得到參數(shù)的取值范圍以及不等式的證明。

（1）因為上單調(diào)遞增.

，從而得到值域。

（2）因為設(shè)，若在恒成立，可以構(gòu)造函數(shù)，記，則.

利用導(dǎo)數(shù)的思想確定最值得到參數(shù)的范圍。

（3）根據(jù)

令，則.

那么可知借助于正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得到結(jié)論。

解：（Ⅰ） 上單調(diào)遞增.

所以函數(shù)的值域為                  ……………………. 4分

（Ⅱ），記，則.

當(dāng)時，,所以在上單調(diào)遞增.

又，故.從而在上單調(diào)遞增.

所以，即在上恒成立………….7分

當(dāng)時，.

所以上單調(diào)遞減，從而，

故在上單調(diào)遞減，這與已知矛盾. …………….9分

綜上，故的取值范圍為 .

（Ⅲ）

令，則.

依題意可知，

從而.  …………………….12分

又,所以.    …………….14分