Question

5．如果函數f（x）的對于任意實數x，存在常數M，使不等式|f（x）|≤M|x|恒成立，就稱f（x）為有界泛函數．下列四個函數，屬于有界泛函數的是（　�。�
①f（x）=1②f（x）=x²③f（x）=（sinx+cosx）x④$f（x）=\frac{x}{{{x^2}+x+1}}$．

• A． ①②
• B． ②④
• C． ③④
• D． ①③

Answer 1

分析 根據有界泛函數的定義，逐個驗證，對于①取x=0，即可說明①不是有界泛函數；對于②采取反證法，f（x）=x²是有界泛函數，則x²≤M|x|，取x=M+1，得到矛盾，因此②不是有界泛函數；對于③利用三角函數的有界性即可證明③是有界泛函數；對于④求函數f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$的最大值即可證明④是有界泛函數；從而得到選項．

解答 解：函數f（x）對任意的實數x，存在常數M，使得不等式|f（x）|≤M|x|恒成立，那么就稱函數f（x）為有界泛函數，
∴①取x=0，則|f（x）|=1，|x|=0，故不存在常數M，使得不等式|f（x）|≤M|x|成立，因此①不是有界泛函數；
②若f（x）=x²是有界泛函數，則x²≤M|x|，取x=M+1，則有（M+1）²＞M（M+1），故與假設矛盾，因此②不是有界泛函數；
③f（x）=（sinx+cosx）x≤$\sqrt{2}$|x|，故③是有界泛函數；
④f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$≤$\frac{4}{3}$|x|，故④是有界泛函數；
故選C．

點評 此題是個中檔題．考查函數恒成立問題，以及三角函數的有界性和二次函數配方法求最值等基礎知識，同時考查了學生的閱讀能力，對題意的理解和轉化能力，以及靈活應用知識分析解決問題的能力．