Question

已知在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，分別是的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

(1)證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要以四棱錐為幾何背景，考查線(xiàn)面平行的判定和二面角的求法，可以運(yùn)用傳統(tǒng)幾何法，也可以用空間向量方法求解，突出考查空間想象能力和計(jì)算能力.第一問(wèn)，利用線(xiàn)面平行的判定定理，先找出面內(nèi)的一條線(xiàn)，利用平行四邊形證明，從而證明線(xiàn)面平行；第二問(wèn)，用向量法解題，先建立直角坐標(biāo)系，求出2個(gè)平面的法向量，再求夾角.

試題解析： (1)證明：取的中點(diǎn)，連結(jié).

∴，且，

又，∴.

又是的中點(diǎn)，且，

∴，∴四邊形是平行四邊形．

∴.

又平面，平面.

∴平面.(6分)

(2)解：以為原點(diǎn)，如圖建立直角坐標(biāo)系，則，，， ，，，．

設(shè)平面的法向量為，，．

則可得，令，則．

易得平面的法向量可為，

；

如圖，易知二面角的余弦值等于，即為.  （12分）

考點(diǎn)：1.線(xiàn)面平行的判定定理；2.向量法求二面角.