Question

(本小題滿分14分)

某地政府為科技興市,欲將如圖所示的一塊不規(guī)則的非農(nóng)業(yè)用地規(guī)劃成一個矩形高科技工業(yè)園區(qū).已知且,曲線段是以點為頂點且開口向右的拋物線的一段.

(I)建立適當?shù)淖鴺讼?求曲線段的方程;

(II)如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在上,且一個頂點落在曲線段上,問如何規(guī)劃才能使矩形工業(yè)園區(qū)的用地面積最大?并求這個最大值.

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

(I) 以O為原點,OA所在直線為y軸建立直角坐標系(如圖),

依題可設拋物線方程為y²=2px(p>0),且C(4,2).由此可得,

故曲線段OC的方程為y²=x().……………………………6分

(II) 設P(t²,t)(),

則在矩形PQBN中,|PQ|=2+t,|PN|=4-t².

工業(yè)園區(qū)面積S(t)=|PQ||PN|=(2+t)( 4-t²)= -t³-2t²+4t+8.

……………………………8分

導數(shù)= -3t²-4t+4,

當時,; 當時,.

所以S(t)在上為增函數(shù),在上為減函數(shù)…………10分.

所以時,S_max=;此時.…………13分

答：當矩形的長為km,寬為km時,園區(qū)面積最大,最大值為km².-----14分

 

【解析】略