Question

給出下列結(jié)論：
①當(dāng)x≥2時(shí)，x+

1

x-1

的最小值是3；
②當(dāng)0＜x≤2時(shí)，2^x+2^-x存在最大值；
③若m∈（0，1]，則函數(shù)y=m+

3

m

的最小值為2

3

；
④當(dāng)x＞1時(shí)，lgx+

1

lgx

≥2．
其中一定成立的結(jié)論序號(hào)是

①②④

（把成立的序號(hào)都填上）．

Answer 1

分析：變形利用基本不等式和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：①當(dāng)x≥2時(shí)，x+

1

x-1

=x-1+

1

x-1

+1≥2

(x-1)• 1 x-1

+1=3，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)，∴x+

1

x-1

的最小值是3；
②令f（x）=2^x+2^-x，則f′（x）=2^xln2-2^-xln2=ln2(2x-

1

2x

)≥0，∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，∴當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值4+

1

4

=

17

4

，因此正確．
③若m∈（0，1]，∵y′=1-

3

m2

=

m2-3

m2

＜0，因此函數(shù)y=m+

3

m

單調(diào)遞減，∴函數(shù)f（x）最小值為1+

3

1

=4，因此不正確；
④當(dāng)x＞1時(shí)，lgx0，∴l(xiāng)gx+

1

lgx

≥2

lgx• 1 lgx

=2．當(dāng)且僅當(dāng)x=10時(shí)取等號(hào)．
綜上可知：只有①②④正確．
故答案為①②④．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握變形利用基本不等式和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．