Question

【題目】已知為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且軸．

（1）求的方程

（2）過的直線交于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．證明：直線的斜率成等差數(shù)列．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）運(yùn)用橢圓的定義和勾股定理，可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）由題意可設(shè)直線AB的方程為y=k（x-2），求得M的坐標(biāo)，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及直線的斜率公式，結(jié)合等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，化簡(jiǎn)整理，即可得證．

解：（1） 因?yàn)辄c(diǎn)在上，且軸，所以，

設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，則，，

中，，所以．

所以，，

又，

故橢圓的方程為；

（2）證明：由題意可設(shè)直線的方程為，

令得，的坐標(biāo)為，

由得，，

設(shè)，，，，

則有，①．

記直線，，的斜率分別為，，，

從而，，．

因?yàn)橹本�的方程為，所以，，

所以

②．

①代入②得，

又，所以，

故直線，，的斜率成等差數(shù)列．