Question

設a＞0，函數(shù)f(x)=x+

a

x

 ， g(x)=x-lnx，若對任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，則a的取值范圍為

[e-2，+∞）

．

Answer 1

分析：求導函數(shù)，分別求出函數(shù)f（x）的最小值，g（x）的最大值，進而可建立不等關系，即可求出a的取值范圍．

解答：解：求導函數(shù)，可得g′（x）=1-

1

x

，x∈[1，e]，g′（x）≥0，
∴g（x）_max=g（e）=e-1
f′(x)=1-

a

x2

，令f'（x）=0，
∵a＞0，x=±

a

當0＜a＜1，f（x）在[1，e]上單調增，
∴f（x）_min=f（1）=1+a≥e-1，∴a≥e-2；
當1≤a≤e²，f（x）在[1，

a

]上單調減，f（x）在[

a

，e]上單調增，
∴f（x）_min=f（

a

）=2

a

≥e-1 恒成立；
當a＞e²時 f（x）在[1，e]上單調減，
∴f（x）_min=f（e）=e+

a

e

≥e-1 恒成立
綜上a≥e-2
故答案為：[e-2，+∞）

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的最值，解題的關鍵是將對任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，轉化為對任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有f（x）_min≥g（x）_max．