Question

16．已知函數(shù)f（x）=x²e^x，當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，不等式f（x）＜m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　　）

• A． [$\frac{1}{e}$，+∞）
• B． （$\frac{1}{e}$，+∞）
• C． [e，+∞）
• D． （e，+∞）

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，先求出f（x）在[-1，1]上的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最大值和最小值．

解答 解：（1）f′（x）=x（x+2）e^x，
令f′（x）＞0，解得：x＜-2或x＞0，
令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜0，
∵x∈[-1，1]，
∴當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
則當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取得極小值f（0）=0，
∵f（1）=e，f（-1）=$\frac{1}{e}$，
∴函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最大值為e，
∵當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，不等式f（x）＜m恒成立，
∴m＞e，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值是解決本題的關(guān)鍵．