設橢圓
的左焦點為
，直線
與
軸交于點
，過點
且傾斜角為30°的直線
交橢圓于
兩點．
（Ⅰ）求直線和橢圓的方程；
（Ⅱ）求證：點
在以線段
為直徑的圓上；
（Ⅲ）在直線上有兩個不重合的動點
，以
為直徑且過點
的所有圓中，求面積最小的圓的半徑長．
（1）
（2）（2）把直線與橢圓方程聯(lián)立，消去y，設出A，B的坐標，則可求得x1+x2=-3x1x2，進而分別表示出F1A和AF1B斜率，進而求得kF1A?kF1B的值
（3）
【解析】
試題分析：解: (Ⅰ)可知直線
2分
由
,
,解得
,
所以
，橢圓的方程為．
4分
(Ⅱ)聯(lián)立方程組
整理得:
,
設
,則
,
因為
,所以
所以點
在以線段
為直徑的圓上．
10分
(3)面積最小的圓的半徑長應是點
到直線
的距離． 11分
設為
即面積最小的圓的半徑長為
13分
考點：直線與圓錐曲線
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．
科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年浙江省高三5月模擬考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題
已知橢圓
的離心率為
，直線
:
與以原點為圓心、以橢圓
的短半軸長為半徑的圓相切.
（1）求橢圓的方程；
（2）設橢圓的左焦點為
，右焦點
，直線
過點且垂直于橢圓的長軸，動直線
垂
直于點
，線段
垂直平分線交于點
，求點的軌跡
的方程；
（3）當P不在
軸上時，在曲線上是否存在兩個不同點C、D關于對稱，若存在，
求出的斜率范圍，若不存在，說明理由。
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科目：高中數(shù)學 來源：河北省高三下學期第二次考試數(shù)學（文） 題型：解答題
（本題滿分12分）已知橢圓
的離心率為
，
直線
與以原點為圓心、以橢圓
的短半軸長為半徑的圓相切。
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設橢圓的左焦點為F1，右焦點為F2，直線
過點F1，且垂直于橢圓的長軸，動直
線
垂直于點P，線段PF2的垂直平分線交于點M，求點M的軌跡C2的方程；
（Ⅲ）若AC、BD為橢圓C1的兩條相互垂直的弦，垂足為右焦點F2，求四邊形ABCD的面積
的最小值．
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科目：高中數(shù)學 來源：河北省高三下學期第二次考試數(shù)學（文） 題型：解答題
（本題滿分12分）已知橢圓
的離心率為
，
直線
與以原點為圓心、以橢圓
的短半軸長為半徑的圓相切。
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設橢圓的左焦點為F1，右焦點為F2，直線
過點F1，且垂直于橢圓的長軸，動直
線
垂直于點P，線段PF2的垂直平分線交于點M，求點M的軌跡C2的方程；
（Ⅲ）若AC、BD為橢圓C1的兩條相互垂直的弦，垂足為右焦點F2，求四邊形ABCD的面積
的最小值．
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科目：高中數(shù)學 來源：2012屆遼寧省營口市高二上學期期末教學質(zhì)量檢測理科數(shù)學 題型：解答題
設
，
分別為橢圓
的左、右焦點，過的直
線
與橢圓
相交于
,
兩點，直線的傾斜角為
， 到直線的距離為
；
（1）求橢圓的焦距；
（2）如果
,求橢圓的方程.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
( 本小題滿分12分)
設
，
分別為橢圓
的左、右焦點，過的直
線
與橢圓
相交于
,
兩點，直線的傾斜角為
，到直線的距離為
；
（1）求橢圓的焦距；
（2）如果
,求橢圓的方程.
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