Question

【題目】如圖1.四邊形是邊長為10的菱形，其對角線，現(xiàn)將沿對角線折起，連接，形成如圖2的四面體，則異面直線與所成角的大小為______.在圖2中，設(shè)棱的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，若四面體的外接球的球心在四面體的內(nèi)部，則線段長度的取值范圍為______.

Answer 1

【答案】

【解析】

連接、，利用線面垂直的判定定理可求異面直線與所成角的大小；先根據(jù)外接球的性質(zhì)確定出四面體的外接球球心，利用勾股定理，求出和，進(jìn)而求出，借助三角函數(shù)的取值范圍以及，即可求出線段長度的取值范圍.

連接、，四邊形是菱形，為棱的中點(diǎn)，

所以，，

又，

則平面，

由平面，

則，即異面直線與所成角的大小為.

由四邊形是邊長為10的菱形，其對角線，

則，，

是的外心，在中線中，

設(shè)過點(diǎn)的直線平面，易知平面，

同理是的外心，在中線上，

設(shè)過點(diǎn)的直線平面，易知平面，

由對稱性易知、的交點(diǎn)在直線上，

根據(jù)外接球的性質(zhì)，點(diǎn)為四面體的外接球的球心，

，，

，解得，

令，根據(jù)題意可知，，且,

則平面，平面，則，

所以，，

，

，

又，，，

，即線段長度的取值范圍為，

故答案為：；