Question

已知拋物線，直線交拋物線于兩點，且．

（1）求拋物線的方程；
（2）若點是拋物線上的動點，過點的拋物線的切線與直線交于點，問在軸上是否存在定點，使得？若存在，求出該定點，并求出的面積的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）．（2）存在定點（0,1），．　

試題分析：（1）把代入，消去，整理得，
                     2分
過拋物線的焦點，
拋物線的方程為．                         6分
（2）切線方程為，即，
                         8分
令，，
當(dāng)時，，即，            10分
，，
點是拋物線的焦點，，

，
，       13分
不妨設(shè)，令，
，
在上遞減，在上遞增，
，
即當(dāng)時，．　　　　　　　　　15分
點評：解決拋物線中的定值及最值問題的基本思想是建立目標(biāo)函數(shù)和建立不等式（方程）關(guān)系，根據(jù)條件求解定值及最值，因此這里問題的難點就是如何建立目標(biāo)函數(shù)和不等式（或等量關(guān)系）。建立目標(biāo)函數(shù)的關(guān)鍵是選用一個合適變量，這個變量可以是直線的斜率、直線的截距、點的坐標(biāo)等，要根據(jù)實際情況靈活處理。