Question

橢圓E的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，離心率為,點P(1，)和A、B都在橢圓E上，且＋＝m(m∈R)．

(1)求橢圓E的方程及直線AB的斜率；

(2)當m＝－3時，證明原點O是△PAB的重心，并求直線AB的方程．

 

Answer 1

【答案】

（1）由=及解得a²=4，b²=3， 橢圓方程為；……2分

設(shè)A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）， 由得

（x₁+x₂-2，y₁+y₂-3）=m（1，），即 

又，，兩式相減得

; ………………………6分

（2）由（1）知，點A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）的坐標滿足，

點P的坐標為（1，）, m=-3，    于是x₁+x₂+1=3+m=0，y₁+y₂+=3++=0，   

因此△PAB的重心坐標為(0，0)．即原點是△PAB的重心.

∵x₁+x₂=-1，y₁+y₂=-，∴AB中點坐標為（，），………………………10分

又，，兩式相減得

;         

∴直線AB的方程為y+=(x+),即x+2y+2=0.

【解析】(1)由橢圓上的點P，及離心率可以建立關(guān)于a,b,c的兩個方程，再根據(jù)a²=b²+c²,解方程組即可。根據(jù)＋＝m,然后坐標化即可用m表示出x₁+x₂,y₁+y₂，然后把A、B坐標代入橢圓方程，作差即可求出AB的斜率。

(2)在第（1）問的基礎(chǔ)上根據(jù)重心坐標公式即可求解。