Question

設τ=（x₁，x₂，…，x₁₀）是數1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的任意一個全排列，定義，其中x₁₁=x₁．
（Ⅰ）若τ=（10，9，8，7，6，5，4，3，2，1），求S（τ）的值；
（Ⅱ）求S（τ）的最大值；
（Ⅲ）求使S（τ）達到最大值的所有排列τ的個數．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依題意，τ=（x₁，x₂，…，x₁₀）=（10，9，8，7，6，5，4，3，2，1），代入S（τ）=|2x_k-3x_k+1|計算即可求得S（τ）的值；
（Ⅱ）可求得數10，9，8，7，6，5，4，3，2，1的2倍與3倍，從而可求得其中較大的十個數之和與較小的十個數之和的差，從而可得S（τ）的最大值；
（Ⅲ）利用數1，2，3，4所產生的8個數都是較小的數，而數7，8，9，10所產生的8個數都是較大的數，從而使S（τ）取最大值的排列中，必須保證數1，2，3，4互不相鄰，數7，8，9，10也互不相鄰；而數5和6既不能排在7，8，9，10之一的后面，又不能排在1，2，3，4之一的前面，利用排列組合知識即可求得答案．
解答：解：（Ⅰ）∵τ=（10，9，8，7，6，5，4，3，2，1），x₁₁=x₁，
依題意，S（τ）=|2x_k-3x_k+1|，
∴S（T）=|2x_k-3x_k+1|=7+6+5+4+3+2+1+0+1+28=57，．…（3分）
（Ⅱ）數10，9，8，7，6，5，4，3，2，1的2倍與3倍分別如下：20，18，16，14，12，10，8，6，4，2，30，27，24，21，18，15，12，9，6，3
其中較大的十個數之和與較小的十個數之和的差為203-72=131，所以S（τ）≤131．
對于排列τ=（1，5，6，7，2，8，3，9，4，10），此時S（τ）=131，
所以S（τ）的最大值為131．…（8分）
（Ⅲ）由于數1，2，3，4所產生的8個數都是較小的數，而數7，8，9，10所產生的8個數都是較大的數，所以使S（τ）取最大值的排列中，必須保證數1，2，3，4互不相鄰，數7，8，9，10也互不相鄰；而數5和6既不能排在7，8，9，10之一的后面，又不能排在1，2，3，4之一的前面．設x₁=1，并參照下面的符號排列1△○□△○□△○□△○
其中2，3，4任意填入3個□中，有6種不同的填法；7，8，9，10任意填入4個圓圈○中，共有24種不同的填法；5填入4個△之一中，有4種不同的填法；6填入4個△中，且當與5在同一個△時，既可以在5之前又可在5之后，共有5種不同的填法，所以當x₁=1時，使S（τ）達到最大值的所有排列τ的個數為6×24×4×5=2880，由輪換性知，使S（τ）達到最大值的所有排列τ的個數為28800．…（13分）
點評：本題考查排列及排列數公式，考查抽象思維與綜合分析能力，考查運算能力，屬于難題．