Question

已知函數(shù)f(x)=

3

sin2x-2sin2x．
（Ⅰ）若點(diǎn)P(1，-

3

)在角α的終邊上，求f（α）的值；
（Ⅱ）若x∈[-

π

6

， 

π

3

]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)P(1，-

3

)在角α的終邊上，所以sinα=-

3

2

，cosα=

1

2

，化簡(jiǎn)f（α）
=2

3

sinαcosα-2sin²α，把sinα=-

3

2

，cosα=

1

2

代入運(yùn)算得到結(jié)果．
（Ⅱ） 化簡(jiǎn)f（x）=2sin(2x+

π

6

)-1，根據(jù)x的范圍得到 -

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，從而求得f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)P(1，-

3

)在角α的終邊上，所以sinα=-

3

2

，cosα=

1

2

，
所以f(α)=

3

sin2α-2sin2α=2

3

sinαcosα-2sin2α=2

3

×(-

3

2

)×

1

2

-2×(-

3

2

)2=-3．
（Ⅱ）f(x)=

3

sin2x-2sin2x=

3

sin2x+cos2x-1=2sin(2x+

π

6

)-1，
因?yàn)?span id="nasez1o" class="MathJye">x∈[-

π

6

， 

π

3

]，所以-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，所以-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
所以f（x）的值域是[-2，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，正弦函數(shù)的單調(diào)性和值域，三角恒等變換
是解題的關(guān)鍵．