Question

已知函數(shù)y=b+ax2+2x（a、b是常數(shù)且a＞0，a≠1）在區(qū)間[-

3

2

，0]上有y_max=3，y_min=

5

2

，（1）試求a和b的值．
（2）又已知函數(shù)f（x）=lg（ax²+2x+1）
①若f（x）的定義域是R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍及f（x）的值域；
②若f（x）的值域是R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍及f（x）的定義域．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求y′=（2x+2）ax2+2xlna，所以討論a＞1和0＜a＜1兩種情況，然后對(duì)每種情況求y的最大值，最小值：通過導(dǎo)數(shù)先找出函數(shù)y的極值，再比較兩個(gè)端點(diǎn)的值，從而得到函數(shù)y的最大值和最小值，這樣即可建立關(guān)于a，b的方程，解方程即得a，b；
（2）①f（x）的定義域?yàn)镽，即ax²+2x+1＞0的解集為R，所以

a＞0 △＜0

，這樣即可求出a的取值范圍．根據(jù)ax²+2x+1的值域即可求f（x）的值域；
②若f（x）的值域?yàn)镽，則ax²+2x+1的值域包含（0，+∞），所以a=0時(shí)容易判斷符合條件；a≠0，則需滿足：

a＞0 △≥0

，這樣即可求出a的取值范圍．對(duì)應(yīng)f（x）的定義域，解出不等式ax²+2x+1＞0即可．

解答： 解：（1）y′=（2x+2）ax2+2xlna；
∴①若a＞1，x∈[-

3

2

，-1)時(shí)，y′＜0，x∈（-1，0）時(shí)，y′＞0；
∴x=-1時(shí)，函數(shù)y取得極小值，即最小值b+

1

a

=

5

2

     ①；
y=b+ax2+2x=b+a(x+1)2-1；
顯然，(-

3

2

+1)2-1＜(0+1)2-1，又a＞1；
∴x=0時(shí)，函數(shù)y取得極大值，即最大值b+1=3，b=2，帶入①即可求出a=2，符合a＞1；
②由①得：
x=-1時(shí)，函數(shù)y取得最大值b+

1

a

=3       ①；
x=0時(shí)，函數(shù)y取得最小值b+1=

5

2

，b=

3

2

，帶入①得a=

2

3

，符合0＜a＜1；
所以a=2，b=2，或a=

2

3

，b=

3

2

；
（2）①因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)镽，所以ax²+2x+1＞0對(duì)一切x∈R成立；
由此得

a＞0 △=4-4a＜0

解得a＞1．又因?yàn)?span id="8vs9zc5" class="MathJye">ax2+2x+1=a(x+

1

a

)2+1-

1

a

≥1-

1

a

；
∴f（x）=lg（ax²+2x+1）≥lg（1-

1

a

）；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，+∞），f（x）的值域是[lg(1-

1

a

)，+∞)；
②因?yàn)閒（x）的值域是R，所以u(píng)=ax²+2x+1的值域包含（0，+∞）；
當(dāng)a=0時(shí)，u=2x+1的值域?yàn)镽?（0，+∞）；
當(dāng)a≠0時(shí)，u=ax²+2x+1的值域包含（0，+∞），則

a＞0 △=4-4a≥0

；
解之得0＜a≤1；
∴a的取值范圍是[0，1]；
要使函數(shù)f（x）有意義，則：ax²+2x+1＞0    ①；
由上面知方程ax²+2x+1=0有兩個(gè)實(shí)根：x1=

-2- 4-4a

2a

，x2=

-2+ 4-4a

2a

；
所以不等式①的解是（-∞，x₁）∪（x₂，+∞），即函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，x₁）∪（x₂，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：考查極值的概念，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的過程：先求函數(shù)f（x）的極值，再比較端點(diǎn)值，對(duì)數(shù)函數(shù)的值域，定義域，及解一元二次不等式．