Question

1．如圖，橢圓W：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，其左頂點(diǎn)A在圓O：x²+y²=16上．
（Ⅰ）求橢圓W的方程；
（Ⅱ）直線AP與橢圓W的另一個(gè)交點(diǎn)為P，與圓O的另一個(gè)交點(diǎn)為Q．
（i）當(dāng)|AP|=$\frac{8\sqrt{2}}{5}$時(shí)，求直線AP的斜率；
（ii）是否存在直線AP，使得$\frac{|AQ|}{|AP|}$=4？若存在，求出直線AP的斜率；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a=4，利用橢圓的離心率公式求得c，b²=a²-c²=4，即可求得橢圓W的方程；
（Ⅱ）（i）將直線y=k（x+4），代入橢圓方程，由韋達(dá)定理，求得P點(diǎn)坐標(biāo)，由|AP|=$\frac{8\sqrt{2}}{5}$，即可求得k的值；
（ii）丨AQ丨=2$\sqrt{16-lomtw40^{2}}$=2$\sqrt{\frac{16}{1+{k}^{2}}}$=$\frac{8}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，則$\frac{丨AQ丨}{丨AP丨}$=$\frac{1+4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$=4，顯然k不存在．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓W的左頂點(diǎn)A在圓x²+y²=16上上，則a=4，由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則c=2$\sqrt{3}$，
則b²=a²-c²=4，
∴橢圓W的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（Ⅱ）（i）設(shè)點(diǎn)P（x_p，y_p），Q（x_Q，y_Q），顯然直線AP存在斜率，
設(shè)直線AP的方程為y=k（x+4），與橢圓方程聯(lián)立得$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+4）}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，
整理得：（1+4k²）x²+32k²x+64k²-16=0，
由-4x_P=$\frac{64{k}^{2}-16}{1+4{k}^{2}}$，可得x_P=$\frac{4-16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，|AP|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$丨x_P-（-4）丨，
∴|AP|=$\frac{8\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$，
由|AP|=$\frac{8}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{8\sqrt{2}}{5}$，解得k=±1，
∴直線AP的斜率為1或-1；
（ii）圓心到直線AP的距離為d=$\frac{丨4k丨}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
丨AQ丨=2$\sqrt{16-qi0wwnl^{2}}$=2$\sqrt{\frac{16}{1+{k}^{2}}}$=$\frac{8}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴$\frac{丨AQ丨}{丨AP丨}$=$\frac{\frac{8}{\sqrt{1+{k}^{2}}}}{\frac{8\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+4{k}^{2}}}$=$\frac{1+4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$=4，
顯然3≠0，
故不存在直線AP，使得$\frac{|AQ|}{|AP|}$=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．