Question

【題目】如圖，在三棱柱中，每個側(cè)面均為正方形，為底邊的中點，為側(cè)棱的中點.

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）直線與平面所成角的正弦值為

【解析】

證明：（Ⅰ）設(shè)的交點為O,連接，連接.

因為為的中點，為的中點,

所以∥且.又是中點，

所以∥且,

所以∥且.

所以，四邊形為平行四邊形.所以∥.

又平面,平面,則∥平面.

(Ⅱ)因為三棱柱各側(cè)面都是正方形，所以，.

所以平面.

因為平面，所以.

由已知得，所以,

所以平面.

由（Ⅰ）可知∥，所以平面.

所以.

因為側(cè)面是正方形，所以.

又，平面，平面,

所以平面.

（Ⅲ）解: 取中點，連接.

在三棱柱中，因為平面，

所以側(cè)面底面.

因為底面是正三角形，且是中點，

所以，所以側(cè)面.

所以是在平面上的射影.

所以是與平面所成角.

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