Question

9．設(shè)f（x）是定義在R上恒不為零的函數(shù)，對任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=f（n）（n∈N^*），則數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=1-${（\frac{1}{2}）}^{n}$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的關(guān)系式，求出數(shù)列{a_n}的通項公式，判斷數(shù)列是等比數(shù)列，求出它的前n項和S_n．

解答 解：令y=x，f（x）•f（x）=f（2x），
∴f（2x）=[f（x）]²，x∈R；
又a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=f（n）（n∈N^*），
∴a₁=f（1）=$\frac{1}{2}$，
a_n=f（n）=[f（1）]ⁿ=${（\frac{1}{2}）}^{n}$；
∴數(shù)列{a_n}是首項為a₁=$\frac{1}{2}$，公比q=$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
其前n項和為S_n=$\frac{\frac{1}{2}（1{-（\frac{1}{2}）}^{n}）}{1-\frac{1}{2}}$=$1-{（\frac{1}{2}）^n}$．
故答案為：1-${（\frac{1}{2}）}^{n}$．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，也考查了等比數(shù)列的定義與通項公式、前n項和公式的應(yīng)用問題，是綜合性題目．