Question

5．如圖，在平面直角坐標系中，以原點為圓心，單位長度為半徑的圓上有兩點A（$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{5}$），B（$\frac{5}{13}$，$\frac{12}{13}$）．
（Ⅰ）求$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$夾角的余弦值；
（Ⅱ）已知C（1，0），記∠AOC=α，∠BOC=β，求tan$\frac{α+β}{2}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$的坐標，再跟它們的夾角的余弦值cos∠AOB=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}$，計算求得結(jié)果．
（Ⅱ）設∠AOB的平分線OD交單位圓于點D，則∠COD=$\frac{α+β}{2}$，求得$\overrightarrow{OD}$的坐標，根據(jù)$\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{AB}$=0，求得tan$\frac{α+β}{2}$的值．

解答 解：（Ⅰ）在平面直角坐標系中，以原點為圓心，單位長度為半徑的圓上有兩點
A（$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{5}$），B（$\frac{5}{13}$，$\frac{12}{13}$），
∴$\overrightarrow{OA}$=（$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{5}$），$\overrightarrow{OB}$=（$\frac{5}{13}$，$\frac{12}{13}$），|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=1，
∴$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$夾角的余弦值cos∠AOB=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}$=$\frac{\frac{20}{65}+\frac{36}{65}}{1•1}$=$\frac{56}{65}$．
（Ⅱ）設∠AOB的平分線OD交單位圓于點D，則∠COD=$\frac{α+β}{2}$，
從而D（cos$\frac{α+β}{2}$，sin$\frac{α+β}{2}$），∴$\overrightarrow{OD}$=（cos$\frac{α+β}{2}$，sin$\frac{α+β}{2}$），
連接AB，可知OD⊥AB，即$\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{AB}$=0．
∴$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$=（-$\frac{27}{65}$，$\frac{21}{65}$），
∴（cos$\frac{α+β}{2}$，sin$\frac{α+β}{2}$）•（-$\frac{27}{65}$，$\frac{21}{65}$）=-$\frac{27}{65}$•cos$\frac{α+β}{2}$+$\frac{21}{65}$•sin$\frac{α+β}{2}$=0，
∴tan$\frac{α+β}{2}$=$\frac{9}{7}$．

點評 本題考查綜合運用平面向量與三角函數(shù)解決問題的能力，屬于中檔題．