Question

3．圓臺的側(cè)面積為$\frac{16}{3}$πcm²，它的內(nèi)切球的表面積是4πcm²，則圓臺的體積為$\frac{26}{9}$πcm³．

Answer 1

分析 設圓臺的上底面半徑為r，下底面半徑為R，由切線長定理得母線長為R+r，
由圓臺的側(cè)面面積和內(nèi)切球表面積求出r和R，高是圓臺內(nèi)切球的直徑a，由此求出圓臺的體積．

解答 解：設圓臺的上底面半徑為r，下底面半徑為R，則母線長為R+r；
設圓臺內(nèi)切球的半徑為a，則4πa²=4π，解得a=1；
又圓臺的側(cè)面面積是π•（r+R）²=$\frac{16}{3}$π，
解得r+R=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$①；
畫出圓臺的軸截面，如圖所示：

則R-r=$\sqrt{{（R+r）}^{2}{-（2a）}^{2}}$=$\sqrt{\frac{16}{3}-4}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$②，
由①②解得R=$\sqrt{3}$，r=$\frac{1}{3}$$\sqrt{3}$；
∴圓臺的體積為V=$\frac{1}{3}$π（r²+rR+R²）h=$\frac{1}{3}$π（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$+3）×2=$\frac{26}{9}$π（cm³）．
故答案為：$\frac{26}{9}$π．

點評 本題考查了圓臺的結構特征與面積、體積的計算問題，根據(jù)線切長定理得出母線長為R+r，是簡化解題的關鍵．