Question

17．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx在點(diǎn)x₀處取得極大值5，其導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），（2，0），如圖所示，求：
（Ⅰ）x₀的值；
（Ⅱ）a，b，c 的值．

Answer 1

分析 （1）觀察圖象滿足f′（x）=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的變化情況，來(lái)確定極大值，求出x₀的值；
（2）根據(jù)圖象可得f'（1）=0，f'（2）=0，f（1）=5，建立三個(gè)方程，聯(lián)立方程組求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由圖象可知，在（-∞，1）上f'（x）＞0，在（1，2）上f'（x）＜0．
在（2，+∞）上f'（x）＞0．
故f（x）在（-∞，1），（2，+∞）上遞增，在（1，2）上遞減．
因此f（x）在x=1處取得極大值，所以x₀=1．
（Ⅱ）f'（x）=3ax²+2bx+c，
由f'（1）=0，f'（2）=0，f（1）=5，
得$\left\{\begin{array}{l}{3a+2b+c=0}\\{12a+4b+c=0}\\{a+b+c=5}\end{array}\right.$，
解得a=2，b=-9，c=12．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及觀察圖形的能力，屬于中檔題．