Question

已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)左、右焦點(diǎn)分別為F₁和F₂，P是它左側(cè)分支上一點(diǎn)，P點(diǎn)到左準(zhǔn)線距離為d．

(1)若y＝x是已知雙曲線的一條漸近線，是否存在點(diǎn)P，使d，|PF₁|，|PF₂|成等比數(shù)列？若不存在，說(shuō)明理由．

(2)在已知雙曲線的左分支上，使d，|PF₁|，|PF₂|成等比數(shù)列的點(diǎn)P存在時(shí)，求離心率e的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由已知得b＝a，c＝2a， 　　∴e＝2．假設(shè)存在P(x，y)，使d，|PF1|，|PF2|成等比數(shù)列． 　　又d＝－x－＝－x－，|PF1|＝ed＝－2x－a，|PF2|＝2a＋|PF1|＝－2x＋a，則(－2x－a)2＝(－x－)(－2x＋a)，即4x2＋8ax＋3a2＝0．解得x＝－a或x＝－． 　　∵P是雙曲線左支上的點(diǎn)，∴x≤－a，∴x＝－a． 　　代入－＝1得y2＝(－1)·3a2＝a2， 　　∴y＝±a． 　　∴點(diǎn)P存在，其坐標(biāo)為(－a，±)． 　　(2)解法一：設(shè)存在P(x0，y0)且x0≤－a，使d，|PF1|，|PF2|成等比數(shù)列， 　　即|PF1|2＝d·|PF2|．由雙曲線第二定義得 　　＝＝e，為P點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離． 　　∴|PF1|＝ed，∴(ed)2＝d·，∴ed＝． 　　∴e(－－x0)＝－x0＋，∴x0＝． 　　∵x0≤－a，∴≤－a， 　　∴e2－2e－1≤0，∴1－≤e≤＋1． 　　又e＞1，∴1＜e≤＋1． 　　解法二：由解法一得|PF2|＝e|PF1|，又|PF2|－|PF1|＝2a， 　　∴|PF1|＜，|PF|＝． 　　∵|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|． 　　∴＋≥2c，∴e2－2e－1≤0，結(jié)合e＞1， 　　得1＜e≤＋1．