Question

 (本小題滿分12分)

已知四棱錐的底面為直角梯形,∥,∠,⊥底面,且,是的中點(diǎn).

(1)證明:平面⊥平面;

(2)求與所成角的余弦值;

(3)求二面角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

 (1)見解析；(2) 與所成角的余弦值為.

(3)二面角的余弦值為 。

【解析】第一問主要考查空間幾何體中線，面位置關(guān)系的證明！掌握好線面位置關(guān)系的判定定理與性質(zhì)定理注意線線，線面，面面之間的轉(zhuǎn)化有利于證明題的解決。第二三問主要是線線角與二面角的求法。掌握利用向量求空間角的方法。

解：(1)∵⊥底面，

∴⊥

又∠

∴⊥

而平面，平面，

且

∴⊥平面，…………2分

又∥

∴⊥平面，…………3分

又平面，

∴平面⊥平面.              …………………………4分

(2)由(1)知可以為原點(diǎn),建立如圖空間直角坐標(biāo)系,

∵,是的中點(diǎn),

∴, ………………5分

∴ …………………………6分

∴,

∴與所成角的余弦值為.    …………………………8分

(3)∵

記平面的法向量為

則即,令則,

∴ …………………………9分

同理可得平面的法向量為 …………………………10分

∴ …………………………11分

又易知二面角的平面角為鈍角,

∴二面角的余弦值為        …………………………12分