Question

已知向量

a

=(1，0)，

b

=(x，1)，當x＞0時，定義函數(shù)f(x)=

a • b

| a |+| b |

．
（1）求函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)y=f^-1（x）；
（2）數(shù)列{a_n}滿足：a₁=a＞0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，
①證明：S_n＜2a；
②當a=1時，證明：an＞

1

2n

．

Answer 1

分析：由題意得f(x)=

x

1+ 1+x2

（x＞0），令x=tanα(α∈(0，

π

2

))，則f(x)=

tanα

1+ 1+tan2α

=

sinα

1+cosα

=tan

α

2

，由于α∈(0，

π

2

)⇒

α

2

∈(0，

π

4

)，所以tan

α

2

∈(0，1)，即函數(shù)f（x）的值域為（0，1）
（1）由y=

x

1+ 1+x2

，反解x可得x=

2y

1-y2

，所以原函數(shù)的反函數(shù)y=f-1(x)=

2x

1-x2

（0＜x＜1）
（2）因為a₁=a＞0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，所以an+1=

an

1+ 1+ a 2 n

①利用放縮法．an+1=

an

1+ 1+ a 2 n

＜

an

2

，所以Sn=a1+a2+…+an＜a+

1

2

a+

1

22

a+…+

1

2n-1

a=a+a(

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

)=a+a(1-

1

2n-1

)＜2a
②因為a_n+1=f（a_n），所以a_n=f^-1（a_n+1），所以an=

2an+1

1- a 2 n+1

，又由原函數(shù)的值域知a_n+1∈（0，1），所以an=

2an+1

1- a 2 n+1

＜

2an+1

1-an+1

，則

1

an

＞

1

2an+1

-

1

2

⇒

1

an+1

＜

2

an

+1，進而(

1

an+1

+1)＜2(

1

an

+1)，所以

1

an

+1＜(

1

a1

+1)•2n-1=2n于是可得結論．

解答：解：由題意得f(x)=

x

1+ 1+x2

（x＞0）
令x=tanα(α∈(0，

π

2

))，則f(x)=

tanα

1+ 1+tan2α

=

sinα

1+cosα

=tan

α

2

由于α∈(0，

π

2

)⇒

α

2

∈(0，

π

4

)，所以tan

α

2

∈(0，1)，即函數(shù)f（x）的值域為（0，1）
（1）由y=

x

1+ 1+x2

⇒y-x=y

1+x2

⇒y²-2xy+x²=y²+y²x²
于是解得x=

2y

1-y2

，所以原函數(shù)的反函數(shù)y=f-1(x)=

2x

1-x2

（0＜x＜1）
（2）證明：因為a₁=a＞0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，所以an+1=

an

1+ 1+ a 2 n

∴an+1=

an

1+ 1+ a 2 n

＜

an

2

，所以Sn=a1+a2+…+an＜a+

1

2

a+

1

22

a+…+

1

2n-1

a=a+a(

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

)=a+a(1-

1

2n-1

)＜2a
②因為a_n+1=f（a_n），所以a_n=f^-1（a_n+1）
所以an=

2an+1

1- a 2 n+1

，又由原函數(shù)的值域知a_n+1∈（0，1）
所以an=

2an+1

1- a 2 n+1

＜

2an+1

1-an+1

，則

1

an

＞

1

2an+1

-

1

2

⇒

1

an+1

＜

2

an

+1
進而(

1

an+1

+1)＜2(

1

an

+1)，所以

1

an

+1＜(

1

a1

+1)•2n-1=2n
于是an＞

1

2n-1

＞

1

2n

點評：本題以新定義為載體，考查函數(shù)及反函數(shù)的求解，考查不等式的證明，解題的關鍵是適當放縮，難度較大．