Question

18．已知函數(shù)f（x）=x²-2x+a，g（x）=x+$\frac{4}{x}$，若對于?x₁∈[-1，0]，?x₂∈[1，8]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，則實數(shù)的a取值范圍是[5，5.5]．

Answer 1

分析 由?x₁∈[-1，0]，?x₂∈[1，8]，使得f（x₁）=g（x₂），可得f（x）=x²-2x+a在x₁∈[-1，0]的值域為g（x）=x+$\frac{4}{x}$在x₂∈[1，8]的值域的子集，構(gòu)造關(guān)于a的不等式組，可得結(jié)論．

解答 解：當?x₁∈[-1，0]時，由f（x）=x²-2x+a得，對稱軸是x=1，
f（1）=-1+a是函數(shù)的最小值，且f（-1）=3+a是函數(shù)的最大值，
∴f（x₁）∈[-1+a，3+a]；
g（x）=x+$\frac{4}{x}$在x₂∈[1，8]的值域為[4，$\frac{17}{2}$]
又∵?x₁∈[-1，0]，?x₂∈[1，8]，使得f（x₁）=g（x₂），
∴[4，$\frac{17}{2}$]?[-1+a，3+a]．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+a≥4}\\{3+a≤\frac{17}{2}}\end{array}\right.$，解得5≤a≤5.5．
綜上所述實數(shù)a的取值范圍是[5，5.5]．
故答案為：[5，5.5]．

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，其中根據(jù)已知分析出“f（x）=x²-2x+a在x₁∈[-1，0]的值域為g（x）=x+$\frac{4}{x}$在x₂∈[1，8]的值域的子集”是解答的關(guān)鍵．