Question

已知定義在R上的函數(shù)f(x)=ax³-2bx²+cx+4d(a,b,c,d∈R)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且x=1時(shí)，f(x)取極小值-.

(1)求f(x)的解析式；

(2)當(dāng)x∈［-1,1］時(shí)，圖象是否存在兩點(diǎn)，使得此兩點(diǎn)處的切線互相垂直？試證明你的結(jié)論；

(3)若x₁,x₂∈［-1,1］時(shí)，求證：|f(x₁)-f(x₂)|≤.

Answer 1

解析：(1)∵函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴f(0)=0,即4d=0,∴d=0.

又f(-1)=-f(1),即-a-2b-c=-a+2b-c,∴b=0，

∴f(x)=ax³+cx,f′(x)=3ax²+c.

∵x=1時(shí)，f(x)取極小值-,

∴3a+c=0且a+c=-.

解得a=,c=-.

∴f(x)= x³-x.

 (2)當(dāng)x∈［-1，1］時(shí)，圖象上存在這樣的兩點(diǎn)使得結(jié)論成立.

假設(shè)圖象上存在兩點(diǎn)A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂)，使得過此兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則由f′(x)=(x²-1)，

知兩點(diǎn)處的切線斜率分別為k₁=(x₁²-1),k₂=(x₂²-1),

且（x₁²-1）(x₂²-1)=1.(*)

∵x₁,x₂∈［-1，1］，∴x₁²-1≤0,x₂²-1≤0.

∴（x₁²-1）(x₂²-1)≥0此與（*）矛盾，故假設(shè)不成立.

(3)證明：f′(x)=（x²-1）,令f′(x)=0,得x=±1，

∴x∈(-∞,-1)或x∈(1,+∞)時(shí),?f′(x)＞0；x∈(-1,1)時(shí)，f′(x)＜0，

∴f(x)在［-1，1］上是減函數(shù)，且f_max（x）=f(-1)=,f_min(x)=f(1)=-.

∴在［-１，１］上｜f(x)｜≤,于是x₁,?x₂∈［-1，1］時(shí)，|f(x₁)-f(x₂)|≤|f(x₁)|+|f(x₂)|≤+=.