Question

（07年山東卷理）（14分）設(shè)函數(shù),其中.

(I)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性;

(II)求函數(shù)的極值點(diǎn);

(III)證明對任意的正整數(shù),不等式都成立.

Answer 1

解析：(I) 函數(shù)的定義域?yàn)?IMG height=27 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090327/20090327084306002.gif' width=59>.

，

令，則在上遞增，在上遞減，

.

當(dāng)時(shí)，，

在上恒成立.

即當(dāng)時(shí),函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增。

（II）分以下幾種情形討論：

（1）由（I）知當(dāng)時(shí)函數(shù)無極值點(diǎn).

（2）當(dāng)時(shí)，，

時(shí)，

時(shí)，

時(shí)，函數(shù)在上無極值點(diǎn)。

（3）當(dāng)時(shí)，解得兩個(gè)不同解，.

當(dāng)時(shí)，，，

此時(shí)在上有唯一的極小值點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，

在都大于0 ，在上小于0 ，

此時(shí)有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn).

綜上可知，時(shí)，在上有唯一的極小值點(diǎn)；

時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)；

時(shí)，函數(shù)在上無極值點(diǎn)。

（III） 當(dāng)時(shí)，

令則

在上恒正，

在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，恒有.

即當(dāng)時(shí)，有，

對任意正整數(shù)，取得