Question

10．某次數學測驗共有3道題，評分標準規(guī)定：“每題答對得5分，答錯得0分”．已知某考生能正確解答這3道題的概率分別為$\frac{3}{5}，\frac{1}{2}，\frac{2}{5}$，且各個問題能否正確解答互不影響．
（I）求該考生至少答對一道題的概率；
（Ⅱ）記該考生所得分數為X，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）記“該考生至少答對一題”為事件A，A_i為事件“答對第i題”，i=1，2，3，由事件的獨立性和互斥性，利用對立事件概率計算公式能求出該考生至少答對一道題的概率．
（Ⅱ）由已知得X的可能取值為0，5，10，15，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）記“該考生至少答對一題”為事件A，A_i為事件“答對第i題”，i=1，2，3，
由事件的獨立性和互斥性，得：
P（A）=1-P（$\overline{A}$）=1-$P（\overline{{A}_{1}}）P（\overline{{A}_{2}}）P（\overline{{A}_{3}}）$
=1-$\frac{2}{5}×\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$=$\frac{22}{25}$．
（Ⅱ）由已知得X的可能取值為0，5，10，15，
P（X=0）=P（$\overline{{A}_{1}}$）P（$\overline{{A}_{2}}$）P（$\overline{{A}_{3}}$）=$\frac{2}{5}×\frac{1}{2}×\frac{3}{5}=\frac{6}{50}$，
P（X=5）=P（${A}_{1}\overline{{A}_{2}}\overline{{A}_{3}}$+$\overline{{A}_{1}}{A}_{2}\overline{{A}_{3}}$+$\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}{{A}_{3}}^{\;}$）
=$\frac{3}{5}×\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$+$\frac{2}{5}×\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$+$\frac{2}{5}×\frac{1}{2}×\frac{2}{5}$=$\frac{19}{50}$，
P（X=10）=P（${A}_{1}{A}_{2}\overline{{A}_{3}}$+${A}_{1}\overline{{A}_{2}}{A}_{3}$+${A}_{1}{A}_{2}\overline{{A}_{3}}$）
=$\frac{3}{5}×\frac{1}{2}×\frac{3}{5}+\frac{3}{5}×\frac{1}{2}×\frac{2}{5}$+$\frac{2}{5}×\frac{1}{2}×\frac{2}{5}$=$\frac{19}{50}$，
P（X=15）=P（A₁A₂A₃）=$\frac{3}{5}×\frac{1}{2}×\frac{2}{5}=\frac{6}{50}$，
∴X的分布列為：

X	0	5	10	15
P	$\frac{6}{50}$	$\frac{19}{50}$	$\frac{19}{50}$	$\frac{6}{50}$

EX=$0×\frac{6}{50}+5×\frac{19}{50}+10×\frac{19}{50}$+$15×\frac{6}{50}$=$\frac{15}{2}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意對立事件的概率計算公式的合理運用．